Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{2}$ e $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5

Encontre $| z |$ .

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Etapa 5.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Etapa 5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Etapa 5.3.3

Some $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.4

Divida $4$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Etapa 5.3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| z | = 1$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Etapa 7

Como a tangente inversa de $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{6}$ e $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$