Pré-cálculo Exemplos

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Etapa 1

Use a definição de seno para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sin (w) = \frac{oposto}{hipotenusa}$

Etapa 2

Encontre o lado adjacente do triângulo de círculo unitário. Como a hipotenusa e os lados opostos são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Adjacente = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {oposto}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Adjacente = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

Adjacente $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacente $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

Adjacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

Adjacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

Adjacente $= \sqrt{4 - 3}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

Adjacente $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

Adjacente $= \sqrt{4 - 3}$

Etapa 4.4

Subtraia $3$ de $4$ .

Adjacente $= \sqrt{1}$

Etapa 4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

Adjacente $= 1$

Etapa 5

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (w)$ .

$\sin (w) = \frac{oposto}{hipotenusa}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

Expanda $\sin (\frac{w}{2})$ para $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

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Etapa 7.1

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Etapa 7.2

Reescreva $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 7.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 7.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 7.4.6.5

Avalie o expoente.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Etapa 7.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Etapa 8

Use a definição de $c o s$ para encontrar o valor de $\cos (w)$ . Nesse caso, $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Substitua os valores em $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 10.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Etapa 10.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 10.4

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 10.5

Divida $2$ por $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Etapa 10.6

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$