Pré-cálculo Exemplos

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - k} \cdot {(- \sin (x))}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \sin (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \sin (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot \cos^{2} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{0} + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4

Simplifique o resultado polinomial.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{0} + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \sin^{0} (x)) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(- 1)}^{0} \cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 \cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.8

Simplifique.

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.9

Simplifique.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot (- \sin (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.10

Reordene $2 \cos (x)$ e $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot (2 \cos (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.11

Adicione parênteses.

$\cos^{2} (x) - (\sin (x) \cdot (2 \cos (x))) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.12

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.13

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.14

Multiplique $\cos^{0} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.15

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.16

Multiplique ${(- \sin (x))}^{2}$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \sin (x))}^{2}$

Etapa 4.1.17

Aplique a regra do produto a $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \sin^{2} (x)$

Etapa 4.1.18

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \sin^{2} (x)$

Etapa 4.1.19

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin (2 x)$

Etapa 4.3

Reorganize os termos.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Etapa 4.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 - \sin (2 x)$