Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{4} - 24 x^{3} + 35 x^{2} + 6 x - 9$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$f (x) = - 24 x^{3} + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 2

Fatore $- 6 x$ de $- 24 x^{3} + 6 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $- 6 x$ de $- 24 x^{3}$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 2.2

Fatore $- 6 x$ de $6 x$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 2.3

Fatore $- 6 x$ de $- 6 x (4 x^{2}) - 6 x (- 1)$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 3

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 5

Fatore.

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Etapa 5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 35 x^{2} - 9$

Etapa 7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 u - 9$

Etapa 8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ e cuja soma é $b = 35$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $35$ de $35 u$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 (u) - 9$

Etapa 8.1.2

Reescreva $35$ como $- 1$ mais $36$

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 36) u - 9$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)$

Etapa 8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 9)$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Etapa 10

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Etapa 11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)$

Etapa 12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Etapa 13

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 13.1

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Etapa 13.2

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)$

Etapa 14

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)$

Etapa 15

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 15.1

Reorganize os termos.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)$

Etapa 15.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})$

Etapa 15.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 15.4

Reescreva o polinômio.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})$

Etapa 15.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(u - 3)}^{2}$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(x - 3)}^{2}$