Pré-cálculo Exemplos

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

Etapa 1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 5$ , $b = 19$ e $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.1.5

Some $361$ e $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.1.5

Some $361$ e $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 5.4

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.1.4.3

Multiplique $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.1.5

Some $361$ e $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 6.4

Fatore $- 1$ de $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 6.4.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 6.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 6.4.4

Reescreva $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ como $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 8

A função principal é a forma mais simples do tipo de função em questão.

$y = x^{2}$

Etapa 9

Resolva $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

Etapa 9.1.2

Some $5 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

Etapa 9.1.3

Some $10 x$ aos dois lados da equação.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

Etapa 9.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 9.3

Substitua os valores $a = 5$ , $b = 19$ e $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.4.1

Multiplique $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.4.3

Multiplique $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.5

Some $361$ e $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.1.6

Reordene os termos.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1.4.1

Multiplique $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.4.3

Multiplique $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.5

Some $361$ e $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.1.6

Reordene os termos.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.5.4

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.5.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 9.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 9.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1.4.1

Multiplique $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.4.3

Multiplique $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.5

Some $361$ e $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.1.6

Reordene os termos.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.6.4

Fatore $- 1$ de $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.4.1

Reescreva $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.6.4.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 9.6.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 9.6.4.4

Reescreva $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ como $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Etapa 9.6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 9.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 10

Considere que $y = x^{2}$ é $f (x) = x^{2}$ e $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ é $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Etapa 11

As funções determinadas são de tipos diferentes. Transformar uma função não altera seu tipo, portanto, é impossível transformar $f (x) = x^{2}$ em $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

Transformação geométrica impossível

Etapa 12