Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

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Etapa 1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Etapa 1.4

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Etapa 1.5

Resolva $x$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Divida a fração $\frac{x - 8}{x + 7}$ em duas frações.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Etapa 1.5.1.2

Divida a fração $\frac{x - 10}{x + 8}$ em duas frações.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$

Etapa 1.5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$

Etapa 1.5.2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.5.2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.5.2.4

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5.2.5

O fator de $x + 7$ é o próprio $x + 7$ .

$(x + 7) = x + 7$

$(x + 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.5.2.6

O fator de $x + 8$ é o próprio $x + 8$ .

$(x + 8) = x + 8$

$(x + 8)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.5.2.7

O MMC de $x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 7) (x + 8)$

Etapa 1.5.3

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ por $(x + 7) (x + 8)$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ por $(x + 7) (x + 8)$ .

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x (x + 8) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.4

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 8 \cdot x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 8 x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 8 x - 8 (x + 8) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.1.7

Multiplique $- 8$ por $8$ .

$x^{2} + 8 x - 8 x - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + 8 x - 8 x - 64$ .

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Etapa 1.5.3.2.2.1

Subtraia $8 x$ de $8 x$ .

$x^{2} + 0 - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 1.5.3.3.1.1.1

Fatore $x + 8$ de $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 64 = x (x + 7) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3.1.4

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 \cdot x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Etapa 1.5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 1.5.3.3.1.5.1

Fatore $x + 8$ de $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Etapa 1.5.3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Etapa 1.5.3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 (x + 7)$

Etapa 1.5.3.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 10 \cdot 7$

Etapa 1.5.3.3.1.7

Multiplique $- 10$ por $7$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 70$

Etapa 1.5.3.3.2

Subtraia $10 x$ de $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Etapa 1.5.4

Resolva a equação.

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Etapa 1.5.4.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Etapa 1.5.4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.5.4.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Etapa 1.5.4.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

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Etapa 1.5.4.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Etapa 1.5.4.2.2.2

Some $- 3 x - 70$ e $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Etapa 1.5.4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.4.3.1

Some $70$ aos dois lados da equação.

$- 3 x = - 64 + 70$

Etapa 1.5.4.3.2

Some $- 64$ e $70$ .

$- 3 x = 6$

Etapa 1.5.4.4

Divida cada termo em $- 3 x = 6$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.4.1

Divida cada termo em $- 3 x = 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.5.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 1.5.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.5.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.5.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.4.4.3.1

Divida $6$ por $- 3$ .

$x = - 2$

Etapa 1.6

Exclua as soluções que não tornam $\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 2

A equação não é linear, então uma inclinação constante não existe.

Não linear