Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 7$ , $[- 3, - 1]$

Etapa 1

Segundo o teorema do valor intermediário, se $f$ for uma função contínua com valor real no intervalo $[a, b]$ e $u$ for um número entre $f (a)$ e $f (b)$ , então haverá $c$ contido no intervalo $[a, b]$ , de forma que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Calcular $f (a) = f (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$ .

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f (- 3) = 4 \cdot - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Etapa 3.1.2

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Etapa 3.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 \cdot 9 - 6 \cdot - 3 + 7$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 - 6 \cdot - 3 + 7$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 + 18 + 7$

Etapa 3.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 3.2.1

Some $- 108$ e $18$ .

$f (- 3) = - 90 + 18 + 7$

Etapa 3.2.2

Some $- 90$ e $18$ .

$f (- 3) = - 72 + 7$

Etapa 3.2.3

Some $- 72$ e $7$ .

$f (- 3) = - 65$

Etapa 4

Calcular $f (b) = f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$ .

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 7$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 - 6 \cdot - 1 + 7$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 + 6 + 7$

Etapa 4.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $- 4$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 6 + 7$

Etapa 4.2.2

Some $- 2$ e $6$ .

$f (- 1) = 4 + 7$

Etapa 4.2.3

Some $4$ e $7$ .

$f (- 1) = 11$

Etapa 5

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.83607126$

Etapa 6

Segundo o teorema do valor intermediário, existe uma raiz $f (c) = 0$ no intervalo $[- 65, 11]$ , porque $f$ é uma função contínua em $[- 3, - 1]$ .

As raízes no intervalo $[- 3, - 1]$ estão localizados em $x \approx - 1.83607126$ .

Etapa 7