Pré-cálculo Exemplos

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

Etapa 1

Coloque cada equação do plano na forma padrão.

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Etapa 1.1

Mova $2$ para a esquerda de $f$ .

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

Etapa 1.2.2

Combine $\frac{1}{f}$ e $9$ .

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

Etapa 2

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 3

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 3.1

$P_{1}$ é $2 f = - 1$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Etapa 3.2

$P_{2}$ é $\frac{9}{f} = 4$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Etapa 3.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 3.4.1

Remova os parênteses.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 3.4.3

Simplifique somando os números.

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Etapa 3.4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 3.4.3.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4

O produto escalar é $0$ . Então, os planos são perpendiculares.

Não há intersecção.