Pré-cálculo Exemplos

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Etapa 1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Etapa 2

Segundo o teorema do valor intermediário, se $f$ for uma função contínua com valor real no intervalo $[a, b]$ e $u$ for um número entre $f (a)$ e $f (b)$ , então haverá $c$ contido no intervalo $[a, b]$ , de forma que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Calcular $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Etapa 4.2

Some $\frac{2}{9}$ e $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Etapa 5

Calcular $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Etapa 5.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 5.3

Combine $- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $9$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Etapa 5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Etapa 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $\frac{2}{9}$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Etapa 6.3.3.2

Divida $\frac{2}{9}$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Etapa 6.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Etapa 6.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.1

Avalie $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Etapa 6.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Etapa 6.7

Resolva $x$ .

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Etapa 6.7.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Etapa 6.7.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Etapa 6.7.3

Subtraia $0.22409309$ de $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Etapa 6.8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Segundo o teorema do valor intermediário, existe uma raiz $f (c) = 0$ no intervalo $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , porque $f$ é uma função contínua em $[0, \frac{π}{2}]$ .

As raízes no intervalo $[0, \frac{π}{2}]$ estão localizados em .

Etapa 8