Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{2 \ln (2)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique $2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{\ln (2^{2})} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1.3

Simplifique $3 \ln (3)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (3^{3})} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1.5

Simplifique $4 \ln (4)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (4^{4})} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1.6

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Etapa 1.7

Simplifique $5 \ln (5)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (5^{5})}$

Etapa 1.8

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1}{\ln (4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{1}{\ln (27)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\ln (4) \ln (27)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{\ln (4)}$ por $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{\ln (27)}$ por $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $\ln (4) \ln (27)$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (27) - \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 7

Para escrever $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 8

Para escrever $\frac{1}{\ln (256)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ por $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{1}{\ln (256)}$ por $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 9.3

Reordene os fatores de $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 9.4

Reordene os fatores de $\ln (256) (\ln (27) \ln (4))$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 11

Para escrever $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Etapa 12

Para escrever $- \frac{1}{\ln (3125)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

Etapa 13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ por $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

Etapa 13.2

Multiplique $\frac{1}{\ln (3125)}$ por $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

Etapa 13.3

Reordene os fatores de $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

Etapa 13.4

Reordene os fatores de $\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Etapa 15

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Forma decimal:

$0.47400433 \dots$