Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\ln (30) - \ln (3)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{30}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $30$ e $3$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $3$ de $30$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 (1)})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (\frac{10}{1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.1.2.4

Divida $10$ por $1$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) + 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Etapa 2.2.3

Some $\ln (100)$ e $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 3

Para escrever $\ln (9)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \frac{\ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 5

Para escrever $\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 6

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\ln (100) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 7.2

Reordene $\ln (100)$ e $2$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{2 \cdot \ln (100)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 7.3

Simplifique $2 \cdot \ln (100)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{2 \ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 7.5

Simplifique $2 \ln (100)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (10) \cdot 2 + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $\ln (10) \cdot 2$ .

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Etapa 9.1.2.1

Reordene $\ln (10)$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (10) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.2.2

Simplifique $2 \cdot \ln (10)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.3

Simplifique $2 \ln (9)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.4.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{\ln (100) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.4.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{\ln (100) + \ln (81) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.6

Reescreva $\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})$ em uma forma fatorada.

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Etapa 9.1.6.1

Divida $100$ por $100$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (1)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.6.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + 0}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.1.6.3

Some $\ln (81) \ln (100)$ e $0$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 9.2

Eleve $100$ à potência de $2$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9)$

Etapa 10

Para escrever $- \ln (10) \log (9)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9) \cdot \frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$

Etapa 11

Combine $- \ln (10) \log (9)$ e $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} + \frac{- \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Etapa 12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Forma decimal:

$0$