Pré-cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva $n^{n}$ como $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (n^{n})$ movendo $n$ para fora do logaritmo.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Etapa 3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $n!$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.2

Expanda $8!$ para $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3

Multiplique $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $8$ por $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $56$ por $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $336$ por $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $1680$ por $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $6720$ por $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $20160$ por $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $40320$ por $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $8 \cdot \ln (8)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Etapa 5.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $40320$ e $16777216$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $128$ de $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $128$ de $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{315}{131072}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{315}{131072}$

Forma decimal:

$0.00240325 \dots$