Pré-cálculo Exemplos

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Etapa 1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Etapa 2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Etapa 3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Etapa 4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Etapa 5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.2

Combine.

$- \sqrt{\frac{2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Etapa 7

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Etapa 8

Simplifique cancelando.

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Etapa 11.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Etapa 11.3

Simplifique.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Eleve $2 + \sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 12.2

Eleve $2 + \sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}}$

Etapa 12.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}}$

Etapa 12.4

Some $1$ e $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}}$

Etapa 13

Reescreva ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 14

Expanda $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 15

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 15.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 15.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Etapa 15.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Etapa 15.1.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Etapa 15.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Etapa 15.2

Some $4$ e $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 15.3

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $6 + 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

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Etapa 16.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 16.2

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 16.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 16.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Etapa 16.4.2

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Etapa 16.4.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Etapa 16.4.4

Divida $3 + 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 2.41421356 \dots$