Pré-cálculo Exemplos

$\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$

Etapa 1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ . Portanto, $\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{(\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Etapa 3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} \cdot \frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ por $\frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{(1 + x) (1 + x)}}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Eleve $1 + x$ à potência de $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} (1 + x)}}$

Etapa 5.2

Eleve $1 + x$ à potência de $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} {(1 + x)}^{1}}}$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1 + 1}}}$

Etapa 5.4

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}$ como ${(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))$ .

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Etapa 6.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2}}}$

Etapa 6.2

Fatore a potência perfeita ${(1 + x)}^{2}$ de ${(1 + x)}^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}$

Etapa 7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{1 + x} \sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{1 + x}$ e $\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}}{1 + x}$