Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4 x^{3} + 5^{2} + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 25 + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $1$ de $25$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{x^{2} x + 1}$

Etapa 1.1.3

Fatore $4 x^{3} + 7 x + 24$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.1.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

Etapa 1.1.3.3

Substitua $- 1.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.1.3.3.1

Substitua $- 1.5$ no polinômio.

$4 {(- 1.5)}^{3} + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Etapa 1.1.3.3.2

Eleve $- 1.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot - 3.375 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Etapa 1.1.3.3.3

Multiplique $4$ por $- 3.375$ .

$- 13.5 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Etapa 1.1.3.3.4

Multiplique $7$ por $- 1.5$ .

$- 13.5 - 10.5 + 24$

Etapa 1.1.3.3.5

Subtraia $10.5$ de $- 13.5$ .

$- 24 + 24$

Etapa 1.1.3.3.6

Some $- 24$ e $24$ .

$0$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 1.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{2 x + 3}$

Etapa 1.1.3.5

Divida $4 x^{3} + 7 x + 24$ por $2 x + 3$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$24$

Etapa 1.1.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$

Etapa 1.1.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 1.1.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 1.1.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 1.1.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 1.1.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.1.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} - 9 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.1.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$

Etapa 1.1.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Etapa 1.1.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Etapa 1.1.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							+	$16 x$	+	$24$

Etapa 1.1.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x + 24$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$

Etapa 1.1.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$
										$0$

Etapa 1.1.3.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 3 x + 8$

Etapa 1.1.3.6

Escreva $4 x^{3} + 7 x + 24$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x + 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x^{1} + 1}$

Etapa 1.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2 + 1} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.5

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1^{3}}$

Etapa 1.1.6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 1.1.7

Simplifique.

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Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Etapa 1.1.7.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.3

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $x^{2} - x + 1$ .

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Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.5.2.2

Divida $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ por $1$ .

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.6

Expanda $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7

Simplifique os termos.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot (2 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.7.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot (2 x^{2 + 1}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x \cdot x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.1.5.1

Mova $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2}) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.6

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.7

Multiplique $8$ por $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.8

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.9

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.1.10

Multiplique $3$ por $8$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.7.2.1

Combine os termos opostos em $4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24$ .

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Etapa 1.7.2.1.1

Some $- 6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 16 x + 0 - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.2.1.2

Some $4 x^{3} + 16 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 16 x - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.7.2.2

Subtraia $9 x$ de $16 x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{A (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $(A) (x^{2} - x + 1)$ por $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = (A) (x^{2} - x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + A (- x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8.3

Simplifique.

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Etapa 1.8.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8.3.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8.4

Cancele o fator comum de $x^{2} - x + 1$ .

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Etapa 1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 1.8.4.2

Divida $(B x + C) (x + 1)$ por $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Etapa 1.8.5

Expanda $(B x + C) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Etapa 1.8.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Etapa 1.8.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.8.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.6.1.1

Mova $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.8.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.8.6.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Etapa 1.8.6.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Mova $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.9.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.9.3

Reordene $B$ e $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Etapa 1.9.4

Mova $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Etapa 1.9.5

Mova $- x A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + B x^{2} - x A + B x + C x + A + C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$7 = - 1 A + B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$24 = A + C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $7 = - 1 A + B + C$ por $- B$ .

$7 = - 1 (- B) + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- B) + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$7 = 1 B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $24 = A + C$ por $- B$ .

$24 = (- B) + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Remova os parênteses.

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Etapa 3.3

Resolva $C$ em $24 = - B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- B + C = 24$ .

$- B + C = 24$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Etapa 3.3.2

Some $B$ aos dois lados da equação.

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $24 + B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $7 = 2 B + C$ por $24 + B$ .

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.4.2

Simplifique $7 = 2 B + 24 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Remova os parênteses.

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Some $2 B$ e $B$ .

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5

Resolva $B$ em $7 = 3 B + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $3 B + 24 = 7$ .

$3 B + 24 = 7$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$3 B = 7 - 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $24$ de $7$ .

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $3 B = - 17$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $3 B = - 17$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Etapa 3.6

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{17}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = 24 + B$ por $- \frac{17}{3}$ .

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.2

Simplifique $C = 24 - \frac{17}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Remova os parênteses.

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Simplifique $24 - \frac{17}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1.1

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$C = 24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.2.2.1.2

Combine $24$ e $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{24 \cdot 3 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.2.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1.4.1

Multiplique $24$ por $3$ .

$C = \frac{72 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.2.2.1.4.2

Subtraia $17$ de $72$ .

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $- \frac{17}{3}$ .

$A = - (- \frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Etapa 3.6.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1

Multiplique $- (- \frac{17}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 (\frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Etapa 3.6.4.1.2

Multiplique $\frac{17}{3}$ por $1$ .

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$A = \frac{17}{3}, C = \frac{55}{3}, B = - \frac{17}{3}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17}{3 x} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $x$ e $\frac{17}{3}$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{x \cdot 17}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Etapa 5.2

Mova $17$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17 x}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$