Pré-cálculo Exemplos

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - 2 x = 0$

Etapa 2.7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 2.7.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2} \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 0.8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0.25)}{1 - 2 \cdot 0.25} \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3} \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 1.2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Etapa 3

Defina o argumento em $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ como maior do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \geq - 1$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ como ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 1$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \geq 0$

Etapa 4.3.2

Simplifique $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.2.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.2.4.4

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \geq 0$

Etapa 4.3.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Etapa 4.3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 4.3.5

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 4.3.7

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.3.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.3.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.9

Consolide as soluções.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Etapa 4.4.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4.2.3

Defina $1 - 2 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.1

Defina $1 - 2 x$ como igual a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Etapa 4.4.2.3.2

Resolva $1 - 2 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 4.4.2.3.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.4.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.4.2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.4.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.4.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Etapa 4.4.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.4.2.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 4.4.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Etapa 4.4.2.6.2.3

O lado esquerdo $0.25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.4.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.4.2.6.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Etapa 4.4.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 30$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.4.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 4.4.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - 2 x = 0$

Etapa 4.4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 4.4.4.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.4.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 4.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \frac{1}{2})$

Etapa 4.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 4.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \geq - 1$

Etapa 4.6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.12$

Etapa 4.6.2.2

Substitua $x$ por $0.12$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \geq - 1$

Etapa 4.6.2.3

O lado esquerdo $0.56195148$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.6.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.38$

Etapa 4.6.3.2

Substitua $x$ por $0.38$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \geq - 1$

Etapa 4.6.3.3

O lado esquerdo $1.77951304$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.6.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.6.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \geq - 1$

Etapa 4.6.4.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 4.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ ou $\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$

Etapa 4.8

Combine os intervalos.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Etapa 5

Defina o argumento em $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ como menor do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \leq 1$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \leq 1^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ como ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 1^{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \leq 1^{2}$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1^{2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \leq 0$

Etapa 6.3.2

Simplifique $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.2.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.2.4.4

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \leq 0$

Etapa 6.3.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Etapa 6.3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 6.3.5

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.3.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 6.3.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 6.3.7

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.3.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.3.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.9

Consolide as soluções.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Etapa 6.4

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Etapa 6.4.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4.2.3

Defina $1 - 2 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Defina $1 - 2 x$ como igual a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Etapa 6.4.2.3.2

Resolva $1 - 2 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 6.4.2.3.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.4.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.4.2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.4.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.4.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Etapa 6.4.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.4.2.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 6.4.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Etapa 6.4.2.6.2.3

O lado esquerdo $0.25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.4.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 6.4.2.6.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Etapa 6.4.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 30$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.4.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 6.4.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - 2 x = 0$

Etapa 6.4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 6.4.4.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.4.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \frac{1}{2})$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \leq 1$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.12$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $0.12$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \leq 1$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $0.56195148$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.38$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $0.38$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \leq 1$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $1.77951304$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 6.6.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \leq 1$

Etapa 6.6.4.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

Etapa 7

Defina o denominador em $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - 2 x = 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \frac{1}{4}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | 0 \leq x \leq \frac{1}{4}}$

Etapa 10