Pré-cálculo Exemplos

$\sin (x) \cos (3 x) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Use a fórmula do arco triplo para transformar $\cos (3 x)$ em $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + \sin (x) (- 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Etapa 1.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) + \sin (x) (- 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Etapa 1.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

Etapa 1.1.5

Aplique a fórmula do arco triplo do seno.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) = 0$

Etapa 1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + \cos (x) (3 \sin (x)) = 0$

Etapa 1.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + \cos (x) (3 \sin (x)) = 0$

Etapa 1.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2

Combine os termos opostos em $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- 3 \sin (x) \cos (x)$ e $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Some $- 3 \cos (x) \sin (x)$ e $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 0 = 0$

Etapa 1.2.3

Some $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ e $0$ .

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $- 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 \sin (x) \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.4

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 6.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 6.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 6.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 6.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 6.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 6.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.2.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.2.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 6.2.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.14.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 6.2.14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 6.2.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.6

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 7.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 7.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 7.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 7.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 7.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 7.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.2.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 7.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 7.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 7.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 7.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7.2.17

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $4 \sin (x) \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

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Etapa 9.1

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.3

Consolide $π n$ e $\frac{π}{2} + π n$ em $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.4

Consolide $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.5

Consolide $\frac{π n}{2}$ e $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ em $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.6

Consolide $\frac{π n}{4}$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$