Pré-cálculo Exemplos

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$2 θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 θ = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Etapa 4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 θ = π - \frac{π}{6}$

Etapa 5

Resolva $θ$ .

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 6$ .

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Etapa 5.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$2 θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 5.1.4.2

Subtraia $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (2 θ)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7

O período da função $\sin (2 θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$