Pré-cálculo Exemplos

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

A resposta final é $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{3}{x^{2}})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{3}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{3}{x^{2}}$ por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $3$ de $- 3 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.3.1

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.4

Subtraia $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.5

Fatore o negativo.

$\frac{\frac{3 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Combine expoentes.

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Etapa 4.1.5.4.1

Fatore o negativo.

$\frac{\frac{- (3 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.5.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Fatore $h$ de $- 3 (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 5