Pré-cálculo Exemplos

$\log (x - 2) + \log (x + 5) = 2 \log (3)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 5)) = 2 \log (3)$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 2) (x + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (x + 5) - 2 (x + 5)) = 2 \log (3)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 5 - 2 (x + 5)) = 2 \log (3)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 5 - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\log (x^{2} + 5 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\log (x^{2} + 5 x - 2 x - 10) = 2 \log (3)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $2 x$ de $5 x$ .

$\log (x^{2} + 3 x - 10) = 2 \log (3)$

Etapa 2

Simplifique $2 \log (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log (x^{2} + 3 x - 10) = \log (3^{2})$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} + 3 x - 10 = 3^{2}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x^{2} + 3 x - 10 = 9$

Etapa 4.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 3 x - 10 - 9 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $9$ de $- 10$ .

$x^{2} + 3 x - 19 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = - 19$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 19$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Some $9$ e $76$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{85}}{2}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{85}}{2}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\log (x - 2) + \log (x + 5) = 2 \log (3)$ verdadeira.

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.10977222 \dots$