Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique $(x - 2) (2 x + 1)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.3

Expanda $(x - 2) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.4.1.2.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.1.4.2

Subtraia $4 x$ de $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Etapa 4.2.2

Simplifique $(x + 2) (x - 1)$ .

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Etapa 4.2.2.1

Expanda $(x + 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

Etapa 4.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- x$ e $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

Etapa 4.2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.3.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

Etapa 4.2.3.3

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

Etapa 4.2.3.4

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

Etapa 4.2.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

Etapa 4.2.5

Combine os termos opostos em $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Some $- 2$ e $2$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Etapa 4.2.5.2

Some $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 4.2.6

Fatore $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 4.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Etapa 4.2.6.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Etapa 4.2.6.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Etapa 4.2.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2.8

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.9

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.9.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2.9.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4.2.10

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ verdadeira.

$x = 4$