Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Etapa 1.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (9)$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (3^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Etapa 2.4.2

Divida $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x = 3$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Etapa 4.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Etapa 4.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.3

Some $36$ e $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.4.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ verdadeira.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$x = 0.46410161 \dots$