Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 4.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 7.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.2

Fatore $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ .

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Etapa 8.1.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.2.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.4

Combine.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

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Etapa 8.5.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.5.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Etapa 8.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Etapa 8.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 8.6

Multiplique $1 + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 9

Agora, considere o lado direito da equação.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Etapa 10

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 10.1

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Etapa 10.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Etapa 12

Some as frações.

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Etapa 12.1

Para escrever $\frac{1}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Etapa 12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 14

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ é uma identidade