Pré-cálculo Exemplos

$5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3^{3 x + 2})$

Etapa 2

Expanda $\ln (5^{x - 2})$ movendo $x - 2$ para fora do logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3^{3 x + 2})$

Etapa 3

Expanda $\ln (3^{3 x + 2})$ movendo $3 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $(x - 2) \ln (5)$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = 3 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Etapa 4.3

Subtraia $3 x \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3)$

Etapa 4.4

Some $2 \ln (5)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Etapa 4.5

Fatore $x$ de $x \ln (5) - 3 x \ln (3)$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Etapa 4.5.2

Fatore $x$ de $- 3 x \ln (3)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Etapa 4.5.3

Fatore $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3))$ .

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Etapa 4.6

Divida cada termo em $x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ por $\ln (5) - 3 \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 4.6.1

Divida cada termo em $x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ por $\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 4.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

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Etapa 4.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 4.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 4.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 4.6.3.2

Fatore $2$ de $2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

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Etapa 4.6.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 4.6.3.2.2

Fatore $2$ de $2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 4.6.3.2.3

Fatore $2$ de $2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 3.21163648 \dots$