Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $3$ como $1$ mais $2$

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + 2}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x + 2}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x + 2}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$\frac{x + 2}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.6.2

Divida $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 2 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$x + 2 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 2 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 2 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$x + 2 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 2 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Etapa 1.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Etapa 1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$x + 2 = A x + A + 2 B x + B$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Mova $B$ .

$x + 2 = A x + A + 2 x B + B$

Etapa 1.8.2

Mova $A$ .

$x + 2 = A x + 2 x B + A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + 2 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = A + 2 B$

$2 = A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + 2 B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - 2 B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $1 - 2 B$ .

$2 = (1 - 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Some $- 2 B$ e $B$ .

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

$2 = 1 - B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $2 = 1 - B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $1 - B = 2$ .

$1 - B = 2$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- B = 2 - 1$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

$- B = 1$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

$B = - 1$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - 2 B$ por $- 1$ .

$A = 1 - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 1$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

$A = 3$

$B = - 1$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = - 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{3}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$