Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ como uma equação.

$y = 2 x^{2} + x - 6$

Etapa 2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 x^{2} + x - 6 = y$

Etapa 3

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} + x = y + 6$

Etapa 4

Complete o quadrado.

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Etapa 4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0 = y + 6$

Etapa 4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Etapa 4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Etapa 4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = y + 6$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Some $\frac{1}{8}$ aos dois lados da equação.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 + \frac{1}{8}$

Etapa 5.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Etapa 5.3

Combine $6$ e $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8 + 1}{8}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $6$ por $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{48 + 1}{8}$

Etapa 5.5.2

Some $48$ e $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ por $2$ .

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ por $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $\frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.3.1.2.1

Multiplique $\frac{49}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $8$ por $2$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{16}$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Para escrever $\frac{y}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Etapa 7.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{y}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 + 49}{16}$

Etapa 7.4

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{8 y + 49}{16}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y + 49)$