Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 5) (x + 15)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Etapa 1.3.1.2

Mova $15$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Etapa 1.3.2

Subtraia $5 x$ de $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Etapa 3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Etapa 3.3

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $125$ de $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $x^{2} + 10 x - 200$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 200$ e cuja soma é $10$ .

$- 10, 20$

Etapa 3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 3.8

Defina $x + 20$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x + 20$ como igual a $0$ .

$x + 20 = 0$

Etapa 3.8.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x = - 20$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 10) (x + 20) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, - 20$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ verdadeira.

$x = 10$