Pré-cálculo Exemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 2 u$ e $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 4

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 8

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 9

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 10

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$