Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 3$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 + {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 + 4}$

Etapa 5.3.3

Some $9$ e $4$ .

$\sqrt{13}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(3, 0), (- 3, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{13}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{13}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}}{3}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4}}{3}$

Etapa 8.3.3

Some $9$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{13}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{2}{3} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{2}{3} x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $\frac{2}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{2}{3} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{2}{3} x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- \frac{2}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{2}{3} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3}$

Etapa 12.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{2 x}{3}, y = - \frac{2 x}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(3, 0), (- 3, 0)$

Ponto imaginário: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Parâmetro focal: $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Assíntotas: $y = \frac{2 x}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3}$

Etapa 15