Pré-cálculo Exemplos

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Etapa 1

Escreva $f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ como uma equação.

$y = e^{\sin (t)} \cos (t)$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $t$ dos dois pontos.

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (0)}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = e^{\sin (t)} \cos (t)$ por $f (\frac{π}{2})$ e $f (0)$ , substituindo $t$ na função pelo valor $t$ correspondente.

$\frac{(e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) - (e^{\sin (0)} \cos (0))}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $2$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 (\frac{π}{2} - (0))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{2 e^{1} \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

$\frac{2 e \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{2 e \cdot 0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $2 e \cdot 0$ .

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{0 e + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $0$ por $e$ .

$\frac{0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 2 (- e^{0} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1)}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.9

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 3.4.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot - 1}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.4.10

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{- 2}{π + 2 (- (0))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2 (- (0))$ .

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 2}{π + 2 \cdot 0}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- 2}{π + 0}$

Etapa 3.5.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{- 2}{π}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{π}$