Pré-cálculo Exemplos

What is the average rate of change of $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

Etapa 1

Escreva $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ como uma equação.

$y = \frac{2}{x + 3}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{2}{x + 3}$ por $f (3)$ e $f (1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $(3 + 3) (1 + 3)$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ por $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ .

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $3 + 3$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $1 + 3$ .

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Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{1 + 3}$ para o numerador.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $1 + 3$ de $(3 + 3) (1 + 3)$ .

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.4.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.4.5

Subtraia $12$ de $8$ .

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Some $3$ e $3$ .

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.5.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $6 \cdot 4 \cdot 3$ .

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $24$ por $3$ .

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.5.4

Some $3$ e $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

Etapa 3.5.5

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $6 \cdot 4 (- (1))$ .

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Etapa 3.5.6.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.6.3

Multiplique $24$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{72 - 24}$

Etapa 3.5.7

Subtraia $24$ de $72$ .

$\frac{- 4}{48}$

Etapa 3.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $48$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{48}$

Etapa 3.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1.2.1

Fatore $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Etapa 3.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Etapa 3.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{12}$

Etapa 3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{12}$