Pré-cálculo Exemplos

$y = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = {(x + 2)}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 3

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 3.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {((x + h) + 2)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva ${(x + h + 2)}^{2}$ como $(x + h + 2) (x + h + 2)$ .

$f (x + h) = (x + h + 2) (x + h + 2)$

Etapa 3.1.2.2

Expanda $(x + h + 2) (x + h + 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3.3

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 \cdot h + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Etapa 3.1.2.4

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 3.1.2.4.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Etapa 3.1.2.4.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Etapa 3.1.2.5

Some $2 x$ e $2 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 4 x + 2 h + 4$

Etapa 3.1.2.6

Some $2 h$ e $2 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Etapa 3.2

Reordene.

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Etapa 3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Etapa 3.2.2

Reordene $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Etapa 3.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 4

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4)}{h}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4}{h}$

Etapa 5.1.2

Simplifique.

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{h}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 4}{h}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 + 0 - 4 x - 4}{h}$

Etapa 5.1.4

Some $h^{2}$ e $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 - 4 x - 4}{h}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Etapa 5.1.6

Some $h^{2}$ e $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 - 4}{h}$

Etapa 5.1.7

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0}{h}$

Etapa 5.1.8

Some $h^{2} + 2 h x + 4 h$ e $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h}{h}$

Etapa 5.1.9

Fatore $h$ de $h^{2} + 2 h x + 4 h$ .

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Etapa 5.1.9.1

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 4 h}{h}$

Etapa 5.1.9.2

Fatore $h$ de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 4 h}{h}$

Etapa 5.1.9.3

Fatore $h$ de $4 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 4}{h}$

Etapa 5.1.9.4

Fatore $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 4}{h}$

Etapa 5.1.9.5

Fatore $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot 4$ .

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Etapa 5.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $h + 2 x + 4$ por $1$ .

$h + 2 x + 4$

Etapa 5.2.2

Reordene $h$ e $2 x$ .

$2 x + h + 4$

Etapa 6