Pré-cálculo Exemplos

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = t + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $t$ por $t + h$ na expressão.

$g (t + h) = {(t + h)}^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Use o teorema binomial.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Use o teorema binomial.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - (t^{3} + 3 t^{2} h + 3 t h^{2} + h^{3}) + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - (3 t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - 3 (t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.5

Remova os parênteses.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.6

Reescreva ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + (t + h) (t + h)$

Etapa 2.1.2.1.7

Expanda $(t + h) (t + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t (t + h) + h (t + h)$

Etapa 2.1.2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h (t + h)$

Etapa 2.1.2.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h t + h \cdot h$

Etapa 2.1.2.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.8.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h \cdot h$

Etapa 2.1.2.1.8.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h^{2}$

Etapa 2.1.2.1.8.2

Some $t h$ e $h t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.8.2.1

Reordene $t$ e $h$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + h t + h t + h^{2}$

Etapa 2.1.2.1.8.2.2

Some $h t$ e $h t$ .

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$ .

$t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $t^{3}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.2.2

Mova $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.2.3

Mova $t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.2.4

Mova $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.2.5

Mova $t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

Etapa 2.2.6

Mova $t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + 2 h t + h^{2} + t^{2}$

Etapa 2.2.7

Mova $2 h t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.8

Mova $- t^{3}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.9

Mova $- 3 h t^{2}$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h^{2} t - h^{3} - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.10

Mova $- 3 h^{2} t$ .

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.11

Mova $t^{4}$ .

$4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.12

Mova $4 h t^{3}$ .

$6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.13

Mova $6 h^{2} t^{2}$ .

$4 h^{3} t + h^{4} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.2.14

Reordene $4 h^{3} t$ e $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - (t^{4} - t^{3} + t^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} - - t^{3} - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- - t^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + 1 t^{3} - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $t^{3}$ por $1$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + t^{3} - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $t^{4}$ de $t^{4}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 + t^{3} - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $h^{4}$ e $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + t^{3} - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.5

Some $- t^{3}$ e $t^{3}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $h^{4}$ e $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{2}}{h}$

Etapa 4.1.7

Subtraia $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + 0}{h}$

Etapa 4.1.8

Some $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ e $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9

Fatore $h$ de $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1

Fatore $h$ de $h^{4}$ .

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.2

Fatore $h$ de $4 h^{3} t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.3

Fatore $h$ de $6 h^{2} t^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.4

Fatore $h$ de $4 h t^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.5

Fatore $h$ de $- h^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.6

Fatore $h$ de $- 3 h^{2} t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.7

Fatore $h$ de $- 3 h t^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h^{2} + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.8

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + 2 h t}{h}$

Etapa 4.1.9.9

Fatore $h$ de $2 h t$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.10

Fatore $h$ de $h (h^{3}) + h (4 h^{2} t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.11

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.12

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.13

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.14

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.15

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.16

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)}{h}$

Etapa 4.1.9.17

Fatore $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$ por $1$ .

$h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Mova $h^{2}$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Etapa 4.2.2.2

Mova $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

Etapa 4.2.2.3

Mova $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + h + 2 t$

Etapa 4.2.2.4

Mova $h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + 2 t + h$

Etapa 4.2.2.5

Mova $- h^{2}$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t h - 3 t^{2} - h^{2} + 2 t + h$

Etapa 4.2.2.6

Mova $- 3 t h$ .

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Etapa 4.2.2.7

Mova $h^{3}$ .

$4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Etapa 4.2.2.8

Mova $4 t h^{2}$ .

$6 t^{2} h + 4 t^{3} + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Etapa 4.2.2.9

Reordene $6 t^{2} h$ e $4 t^{3}$ .

$4 t^{3} + 6 t^{2} h + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

Etapa 5