Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 ((x + h) (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.1.4.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 3 (2 h x) - 3 h^{2}$

Etapa 2.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Etapa 2.2.2

Mova $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Etapa 2.2.3

Mova $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 6 h x - 3 h^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 2.2.4

Mova $- 6 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2}$

Etapa 2.2.5

Mova $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2}$

Etapa 2.2.6

Mova $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2}$

Etapa 2.2.7

Reordene $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2}$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2}$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2}$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} - (x^{3} - 3 x^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} - x^{3} - (- 3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} - x^{3} + 3 x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 0 + 3 x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $h^{3}$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 3 x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.5

Some $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x + 0}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.7

Fatore $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x$ .

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Etapa 4.1.7.1

Fatore $h$ de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $h$ de $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Fatore $h$ de $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Fatore $h$ de $- 3 h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 3 h) - 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Fatore $h$ de $- 6 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Etapa 4.1.7.6

Fatore $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Etapa 4.1.7.7

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Etapa 4.1.7.8

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 3 h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Etapa 4.1.7.9

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 6 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x$ por $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Mova $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 3 h - 6 x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $- 3 h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 6 x - 3 h$

Etapa 4.2.2.3

Mova $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 6 x - 3 h$

Etapa 4.2.2.4

Reordene $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 6 x - 3 h$

Etapa 5