Pré-cálculo Exemplos

What is the average rate of change of $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ over the interval $5 \leq x \leq 8$ ?

Etapa 1

Escreva $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ como uma equação.

$y = \frac{1}{10 - x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (8) - f (5)}{(8) - (5)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{1}{10 - x}$ por $f (8)$ e $f (5)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{1}{10 - (8)}) - (\frac{1}{10 - (5)})}{(8) - (5)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $(10 - (8)) (10 - (5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$ por $\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)} \cdot \frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (8 - (5))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{10 - (8)} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $10 - 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{(10 - (8)) \cdot 1} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $10 - 1 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{10 - (5)}$ para o numerador.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $10 - 1 \cdot 5$ de $(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique por $1$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 - 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $8$ de $10$ .

$\frac{10 - 5 + 2 \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 - 5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.4.4

Subtraia $5$ de $10$ .

$\frac{5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.4.5

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{3}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{3}{(10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $8$ de $10$ .

$\frac{3}{2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{2 (10 - 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.4

Subtraia $5$ de $10$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $2 \cdot 5 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{3}{10 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $10$ por $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.7

Subtraia $8$ de $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.8

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 5) (- (5))}$

Etapa 3.5.9

Subtraia $5$ de $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 \cdot 5 (- (5))}$

Etapa 3.5.10

Multiplique $2 \cdot 5 (- (5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.10.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 (- (5))}$

Etapa 3.5.10.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 \cdot - 5}$

Etapa 3.5.10.3

Multiplique $10$ por $- 5$ .

$\frac{3}{80 - 50}$

Etapa 3.5.11

Subtraia $50$ de $80$ .

$\frac{3}{30}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $3$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{30}$

Etapa 3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Fatore $3$ de $30$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10}$