Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.3.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.4

Remova os parênteses.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.5

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 ((x + h) (x + h)) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.6

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.7.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.7.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.7.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.9

Multiplique $2$ por $7$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$ .

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Etapa 2.2.2

Mova $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Etapa 2.2.3

Mova $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + h + x$

Etapa 2.2.4

Mova $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + h + x$

Etapa 2.2.5

Mova $14 h x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Etapa 2.2.6

Mova $- 2 x^{3}$ .

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Etapa 2.2.7

Mova $- 6 h x^{2}$ .

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Etapa 2.2.8

Reordene $- 6 h^{2} x$ e $- 2 h^{3}$ .

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - (- 2 x^{3} + 7 x^{2} + x)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - (- 2 x^{3}) - (7 x^{2}) - x}{h}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 2 x^{3} - (7 x^{2}) - x}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 2 x^{3} - 7 x^{2} - x}{h}$

Etapa 4.1.3

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 0 - 7 x^{2} - x}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $- 2 h^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - 7 x^{2} - x}{h}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $- 2 h^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + x - x}{h}$

Etapa 4.1.7

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + 0}{h}$

Etapa 4.1.8

Some $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h$ e $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.9

Fatore $h$ de $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1

Fatore $h$ de $- 2 h^{3}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.9.2

Fatore $h$ de $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.9.3

Fatore $h$ de $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.9.4

Fatore $h$ de $7 h^{2}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + 14 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.9.5

Fatore $h$ de $14 h x$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h}{h}$

Etapa 4.1.9.6

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h^{1}}{h}$

Etapa 4.1.9.7

Fatore $h$ de $h^{1}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.9.8

Fatore $h$ de $h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.9.9

Fatore $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.9.10

Fatore $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}) + h (7 h)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.9.11

Fatore $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h) + h (14 x)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.9.12

Fatore $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$ por $1$ .

$- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Mova $h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$

Etapa 4.2.2.2

Mova $7 h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Etapa 4.2.2.3

Mova $- 2 h^{2}$ .

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Etapa 4.2.2.4

Reordene $- 6 x h$ e $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Etapa 5