Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Etapa 2

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 3

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot ((x + h) (x + h)) - 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) - 4$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Etapa 3.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Etapa 3.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4$

Etapa 3.1.2.1.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4$

Etapa 3.1.2.1.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4$

Etapa 3.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{3} (2 h x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot (h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.5.2.2

Combine $h$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot 2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.5.2.3

Combine $\frac{h \cdot 2}{3}$ e $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Etapa 3.1.2.1.6

Mova $2$ para a esquerda de $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Etapa 3.1.2.2

A resposta final é $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Etapa 3.2

Reordene.

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Etapa 3.2.1

Mova $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Etapa 3.2.2

Reordene $\frac{2 h x}{3}$ e $\frac{h^{2}}{3}$ .

$\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Etapa 3.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

Etapa 4

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - (\frac{x^{2}}{3} - 4)}{h}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} - - 4}{h}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} + 4}{h}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $\frac{x^{2}}{3}$ de $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0 - 4 + 4}{h}$

Etapa 5.1.4

Some $\frac{h^{2}}{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} - 4 + 4}{h}$

Etapa 5.1.5

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0}{h}$

Etapa 5.1.6

Some $\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}}{h}$

Etapa 5.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{h^{2} + 2 h x}{3}}{h}$

Etapa 5.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.8.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{h^{2} + 2 x h}{3}}{h}$

Etapa 5.1.8.2

Reordene $h^{2}$ e $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.9

Fatore $h$ de $2 x h + h^{2}$ .

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Etapa 5.1.9.1

Fatore $h$ de $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.9.2

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{3}}{h}$

Etapa 5.1.9.3

Fatore $h$ de $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{3}}{h}$

Etapa 5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x + h}{3}$

Etapa 6