Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2} + 2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) (x + h) + 2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{x (x + h) + h (x + h) + 2}$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h (x + h) + 2}$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2}$

Etapa 2.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2}$

Etapa 2.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2}$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 2.1.2.1.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2}$

Etapa 2.1.2.1.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} - (\frac{3}{x^{2} + 2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{3}{x^{2} + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ por $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{3}{x^{2} + 2}$ por $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Fatore $3$ de $- 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (0 + 2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Some $0$ e $2$ .

$\frac{\frac{3 (2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2} + 0)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Some $- 2 h x - h^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Fatore $h$ de $- 2 h x - h^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.8.1

Fatore $h$ de $- 2 h x$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Fatore $h$ de $- h^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) + h (- h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.3

Fatore $h$ de $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x - h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

$\frac{\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Combine.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - h$ .

$\frac{3 (- (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Etapa 4.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.8.1

Reescreva $- (2 x + h)$ como $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Etapa 4.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (2 x + h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Etapa 5