Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore ${(x + h)}^{2}$ de ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Fatore ${(x + h)}^{2}$ de ${(x + h)}^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Fatore ${(x + h)}^{2}$ de $- {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.1.3

Fatore ${(x + h)}^{2}$ de ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de ${(x + h)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{x + h - 1}$ .

$- \frac{1}{x + h - 1}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- - \frac{1}{x - 1}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{1}{x + h - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Etapa 4.1.3

Para escrever $\frac{1}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Etapa 4.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h - 1) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{x + h - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.4.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6.6

Some $h$ e $0$ .

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Etapa 5