Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ como uma equação.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sqrt[5]{y + 7}$ por $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{y + 7}$ como ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Etapa 3.4.3.1.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

Etapa 3.5

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ é o inverso de $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.3

Reescreva ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ como $x + 7$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.1.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $3125$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x + 7$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 7 - 7$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

Etapa 5.3.3

Some $- 7$ e $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

Etapa 5.3.4

Some $\frac{x^{5}}{3125}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $3125$ como $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

Etapa 5.3.6

Reescreva $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ como ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

Etapa 5.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ é o inverso de $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$