Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ como uma equação.

$y = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$ .

${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$

Etapa 3.2

Simplifique ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$\frac{{(y^{\frac{1}{7}})}^{5}}{5^{5}} = x$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{7}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{7} \cdot 5}}{5^{5}} = x$

Etapa 3.2.2.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{5^{5}} = x$

Etapa 3.2.3

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = x$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $3125$ .

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{5}{7}} = 3125 x$

Etapa 3.5

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{7}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.1.1.2

Simplifique.

$y = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique ${(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3125 x$ .

$y = 3125^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.2.1.1.2

Reescreva $3125$ como $5^{5}$ .

$y = {(5^{5})}^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.2.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 5^{7} x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 3.6.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $7$ .

$y = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$

Etapa 5.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{7}$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{5^{7}})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Etapa 5.2.4.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Etapa 5.2.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Etapa 5.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Eleve $5$ à potência de $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $78125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Etapa 5.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (78125 x^{\frac{7}{5}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(78125 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $78125 x^{\frac{7}{5}}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{78125^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $78125$ como $5^{7}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(5^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.5

Avalie o expoente.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.6.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Divida $x^{\frac{1}{5}}$ por $1$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Etapa 5.3.4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Etapa 5.3.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Etapa 5.3.4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$