Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \csc (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

Etapa 2

Em qualquer $y = \csc (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ . Defina a parte interna da função cossecante, $b x + c$ , para $y = a \csc (b x + c) + d$ igual a $0$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4

Defina a parte interna da função cossecante $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ como igual a $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

Etapa 5.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 5.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

Etapa 5.1.5.2

Some $8 π$ e $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{9 π}{2}$

Etapa 6

O período básico para $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ ocorrerá em $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , em que $\frac{π}{2}$ e $\frac{9 π}{2}$ são assíntotas verticais.

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Etapa 7

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 7.1

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 8

As assíntotas verticais de $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ ocorrem em $\frac{π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ e a cada $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

Etapa 9

A cossecante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 10