Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ é indefinida.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Etapa 2

$\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\ln (2)$ a partir da esquerda e $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\ln (2)$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \ln (2)$

Etapa 3

$\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\ln (3)$ a partir da esquerda e $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\ln (3)$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \ln (3)$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Etapa 5

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Etapa 5.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Etapa 5.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Etapa 5.2

Como o expoente $2 x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{2 x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Etapa 5.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Etapa 5.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Etapa 5.4

Como o expoente $2 x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{2 x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Etapa 5.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Etapa 5.6

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Etapa 5.7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Etapa 5.7.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $3 \cdot 0 + 2$ e $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Etapa 5.7.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Etapa 5.7.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Etapa 5.7.2.1.4

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Etapa 5.7.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Etapa 5.7.2.1.6

Reordene os termos.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Etapa 5.7.2.1.7

Fatore $2$ de $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Etapa 5.7.2.1.8

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Etapa 5.7.2.1.9

Fatore $2$ de $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Etapa 5.7.2.1.10

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.10.1

Fatore $2$ de $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Etapa 5.7.2.1.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Etapa 5.7.2.1.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Etapa 5.7.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Etapa 5.7.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Etapa 5.7.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.1

Multiplique $0$ por $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Etapa 5.7.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Etapa 5.7.2.3.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Etapa 5.7.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 6

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{1}{3}$

Etapa 7

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 8

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = \ln (2), \ln (3)$

Assíntotas horizontais: $y = \frac{1}{3}$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 9