Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ como uma equação.

$y = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{2} - 2 y + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{2} - 2 y + 1 = x$ .

$y^{2} - 2 y + 1 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y + 1 - x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 1 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.7

Some $0$ e $4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{x}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.7

Some $0$ e $4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{x}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 1 + \sqrt{x}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Some $0$ e $4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{x}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 1 - \sqrt{x}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1 + \sqrt{x}$

$y = 1 - \sqrt{x}$

$y = 1 + \sqrt{x}$

$y = 1 - \sqrt{x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ é o inverso de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $1 + \sqrt{x}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ é o intervalo de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ é o domínio de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ , então, $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ é o inverso de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$

Etapa 6