Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 188, \pm 2, \pm 94, \pm 4, \pm 47$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 188, \pm 18.8, \pm 94, \pm 37.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 9.4, \pm 47, \pm 4, \pm 0.8, \pm 4.7, \pm 23.5$

Etapa 3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$10 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$10 \cdot 16 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.3

Multiplique $10$ por $16$ .

$160 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$160 - 3 \cdot 8 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.5

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$160 - 24 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.6

Subtraia $24$ de $160$ .

$136 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$136 - 63 \cdot 4 + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.8

Multiplique $- 63$ por $4$ .

$136 - 252 + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.9

Subtraia $252$ de $136$ .

$- 116 + 152 \cdot 2 - 188$

Etapa 3.10

Multiplique $152$ por $2$ .

$- 116 + 304 - 188$

Etapa 3.11

Some $- 116$ e $304$ .

$188 - 188$

Etapa 3.12

Subtraia $188$ de $188$ .

$0$

Etapa 4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188}{x - 2}$

Etapa 5

Divida $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ por $x - 2$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$10 x^{3}$
	$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			+	$10 x^{4}$	-	$20 x^{3}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			-	$10 x^{4}$	+	$20 x^{3}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $17 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $17 x^{3} - 34 x^{2}$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 29 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 29 x^{2} + 58 x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

Etapa 5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Etapa 5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $94 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Etapa 5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Etapa 5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $94 x - 188$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Etapa 5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

$0$

Etapa 5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94$

Etapa 6

Escreva $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 2) (10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94)$