Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $5$ de $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Fatore $5$ de $- 25 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

Etapa 2.1.5.3

Fatore $5$ de $- 30$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Etapa 2.1.5.4

Fatore $5$ de $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Etapa 2.1.5.5

Fatore $5$ de $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Fatore $- x^{3} - 5 x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.6.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 2.1.6.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

Etapa 2.1.6.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Etapa 2.1.6.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Etapa 2.1.6.1.3.4

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$1 + 5 - 6$

Etapa 2.1.6.1.3.5

Some $1$ e $5$ .

$6 - 6$

Etapa 2.1.6.1.3.6

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 2.1.6.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

Etapa 2.1.6.1.5

Divida $- x^{3} - 5 x - 6$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Etapa 2.1.6.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Etapa 2.1.6.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.6.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.6.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 2.1.6.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 2.1.6.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 2.1.6.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.6.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.6.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

Etapa 2.1.6.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.1.6.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.1.6.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.1.6.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x - 6$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 2.1.6.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Etapa 2.1.6.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + x - 6$

Etapa 2.1.6.1.6

Escreva $- x^{3} - 5 x - 6$ como um conjunto de fatores.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x + 1$ de $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.1.9.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Some $2$ e $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.11

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Etapa 2.1.13

Simplifique.

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Etapa 2.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Multiplique $5$ por $- 6$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Etapa 2.1.14

Subtraia $5 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Etapa 2.1.15

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Reescreva $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.15.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.15.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

Etapa 2.1.15.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.15.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 6$ .

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

Etapa 2.1.15.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 5$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 2.5.2.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 3