Matemática discreta Exemplos

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 0)$

Etapa 1

Para encontrar uma função exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenha o ponto, defina $f (x)$ na função para o valor $y$ $0$ do ponto. Depois, defina $x$ para o valor $x$ $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ do ponto.

$0 = a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

Etapa 2

Resolva a equação para $a$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$

Etapa 2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.1

Simplifique ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.4

Simplifique.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.1.1.5.1

Fatore $2$ de $20$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.5.2

Cancele o fator comum.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.5.3

Reescreva a expressão.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6

Multiplique os expoentes em ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$ .

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Etapa 2.3.1.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.2

Multiplique $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

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Etapa 2.3.1.1.6.2.1

Multiplique $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.2.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.1.6.3.1

Expanda $(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.1.6.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{\frac{5 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$a^{\frac{25 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt{5}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.4

Multiplique $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.4.1

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.5.5

Avalie o expoente.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.2

Subtraia $5$ de $25$ .

$a^{\frac{20 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.3

Some $- 5 \sqrt{5}$ e $5 \sqrt{5}$ .

$a^{\frac{20 + 0}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.3.2.4

Some $20$ e $0$ .

$a^{\frac{20}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.6.4

Divida $20$ por $20$ .

$a^{1} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.1.1.7

Simplifique.

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique $0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}}$

Etapa 2.3.2.1.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}}$

Etapa 2.3.2.1.4

Simplifique.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}}$

Etapa 2.3.2.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.1.5.1

Fatore $2$ de $20$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Etapa 2.3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Etapa 2.3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$a = 0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

Etapa 3

Substitua cada valor de $a$ de volta na função $f (x) = a^{x}$ para encontrar cada função exponencial possível.

$f (x) = {(0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}})}^{x}$