Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - (4 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 7.2

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 7.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 3} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{2})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{2})$

Etapa 9.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{2})$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$(- 2^{- 1}) + 1^{- 1} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{2})$

Etapa 9.2.2

Avalie $- \frac{1}{2 x^{2}}$ em $2$ e em $1$ .

$(- 2^{- 1}) + 1^{- 1} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + 1^{- 1} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} + 1 - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Etapa 9.2.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Etapa 9.2.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Etapa 9.2.3.10

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 9.2.3.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.2.3.11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Etapa 9.2.3.11.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Etapa 9.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} - 4 \frac{- 1 + 4}{8}$

Etapa 9.2.3.13

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{3}{8})$

Etapa 9.2.3.14

Combine $- 4$ e $\frac{3}{8}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Etapa 9.2.3.15

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 12}{8}$

Etapa 9.2.3.16

Cancele o fator comum de $- 12$ e $8$ .

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Etapa 9.2.3.16.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Etapa 9.2.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.16.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 9.2.3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 9.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 3}{2}$

Etapa 9.2.3.19

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Etapa 9.2.3.20

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 9.2.3.20.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 9.2.3.20.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.20.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 9.2.3.20.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3.20.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 9.2.3.20.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 10