Cálculo Exemplos

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

Etapa 2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Etapa 5

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Avalie $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 7.1.2

Avalie $2 x$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

Etapa 7.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

Etapa 7.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

Etapa 7.1.3.3

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

Etapa 7.1.3.5

Some $2 π$ e $2 π$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ é aproximadamente $3.7320508$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2.4

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ é aproximadamente $0.26794919$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.3

Para escrever $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.4

Combine $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

Etapa 7.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Forma decimal:

$1.55487441 \dots$