Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} + x)}^{10} (2 x + 1)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(x^{2} + x)}^{10} (2 x + 1) d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + x$ . Depois, $d u = (2 x + 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{10} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{10}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x$ .

$\frac{1}{11} {(x^{2} + x)}^{11} + C$

Etapa 6

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(x^{2} + x)}^{10} (2 x + 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{11} {(x^{2} + x)}^{11} + C$